Máximo Común Divisor

Para referencias al tema, véase las entradas de este blog denominadas Números Primos, Mínimo Común Múltiplo y Divisibilidad de Números.

El Máximo Común Divisor, o M.C.D., es el mayor número que puede dividir a una serie de números.

Ejemplo 1:

Si tenemos tres números: 3, 6 y 12, tal y como se observa en el siguiente diagrama:

El conjunto A, representa a todos los números primos, aparte del 1, que dividen al número 3; el B, todos los números primos que dividen a 6; y el C, todos los que dividen al 12.

Podemos observar que el numero común en todos los conjuntos, es el numero 3.

Ejemplo 2:

Teniendo en mente la distribución de conjuntos anterior, considere los siguientes números 4, 24 y 60:

El conjunto A, representa a todos los números primos, que dividen al número 4; el B, todos los números primos que dividen a 24; y el C, todos los que dividen al 60.

Podemos observar que tanto el número 2 y el 4 (2 X 2), dividen a todos los números. Sin embargo, como se busca el máximo número que dividan a todos, ese valor es el 4.el numero común en todos los conjuntos, es el numero 4. En otras palabras, el M.C.D. es el 4.

Teniendo en mente la distribución de conjuntos anterior, considere los siguientes números 4, 24 y 60:

Diferencia entre el M.C.M  y el M.C.D.

Se diferencia del Máximo Común Múltiplo en que, mientras el M.C.D. divide a todos los números, el M.C.M. es múltiplo de todos ellos. Volviendo al ejemplo 1, veremos que, mientras el M.C.D. es el 3, el M.C.M. es el 12; y para el ejemplo 2, el M.C.D. es el 4, sin embargo, el M.C.M. es el 120.

Ajunto podrán observar un video de cómo se determina el M.C.D.

Propiedades de la Multiplicación

La multiplicación de números  tiene las siguientes propiedades:

Propiedad conmutativa

Esta dice que el orden de los factores no altera el producto.

Ejemplo: Si tenemos la siguiente configuración.

Vemos que no importa como distribuyamos los factores (2 y 3), al final el resultado es el mismo (6).

Propiedad asociativa

Esta propiedad nos indica que, cuando se multiplican tres o más números, el producto es el mismo sin importar como se agrupan los factores.

Ejemplo: Consideremos la siguiente figura.

Propiedad distributiva

La suma de dos números por un tercero es igual a la suma de cada sumando por el tercer número.

Es decir, se puede:

1.     Multiplicar el número por cada uno de los elementos de la suma (o resta) y luego sumar (o restar) los resultados, ó

2.     resolver primero la suma (o resta) y el resultado multiplicarlo por el número.

Ejemplo: En las figuras a continuación, tenemos la operación 4 (2 + 3). Resolviéndolo por el primer método:

Por el segundo método, veremos que:

Propiedad de Elemento Neutro

Esta propiedad, también llamada Propiedad de Identidad, dice que, el producto de cualquier número por uno es el mismo número. Explicado de otra manera, todo número repetido 1 vez es igual a sí mismo.

Ejemplo: La figura abajo muestra que todo número repetido una vez, es igual a sí mismo.

Propiedad del Elemento Absorbente

Esta propiedad se conoce también, como Propiedad del Elemento Cero. Este número, cuyo valor es nulo, en realidad representa un punto de partida. En el producto, el cero es el elemento «absorbente»; cualquier número operado con cero da como resultado cero.

En otras palabras, un número sumado ninguna vez, es ninguna vez.

Descomposición en Números Primos

Para inicia a descomponer los números en primos, revisar las entradas Números Primos y Divisibilidad de los Números:

La descomposición de números, en sus componentes mas elementales, o números primos consiste de los siguientes pasos:
Primero: Colocar el numero en una especie de cruz, para iniciar la descomposición.
Segundo: Se toman los números primos en orden ascendente, verificando si el numero es divisible por cada uno. Recordamos la tabla de los números primos:

También podemos aplicar las reglas de la divisibilidad de varios números, a fin de determinar si es numero primo o no.
Tercero: Se divide el numero tantas veces sea necesario, hasta que el residuo no sea divisible por el numero primo utilizado, luego verificar si el residuo es divisible con el siguiente, y así sucesivamente se determinan todos los números primos cuando el residuo es 1.

Así, el numero 6 se descompone en: 2 y 3.
El numero 18, en 2, 3 y 3.
El numero 90 en 2, 3, 3 y 5.
El numero 102, en 2, 3 y 17.

Mínimo Común Múltiplo

Para referencias al tema, véase las entradas de este blog denominadas Números Primos y Divisibilidad de Números.

El mínimo común múltiplo de dos o más números, es el número que es múltiplo de dos o más números.

Por ejemplo:

Si tenemos tres números: 3, 6 y 12, tal y como se observa en el siguiente diagrama:

El conjunto A, representa a todos los números primos, aparte del 1, que dividen al número 3; el B, todos los números primos que dividen a 6; y el C, todos los que dividen al 12.

Como vemos, que contiene a todos los números es el conjunto C.

Si tenemos cuatros números: 4, 8, 12 y 24, podemos observar que todos divisibles por 2 y 3.

El conjunto A, representa a todos los números primos, que dividen al número 4; el B, todos los números primos que dividen a 8; el C, todos los que dividen al 12; y el D, todos los del 24.

El número que contiene a todos los números múltiplos es el 24, por lo tanto, es el Mínimo número que es múltiplo de todos los demás, o MCM.

Pasos para el Cálculo del Mínimo Común Múltiplo:

Paso 1. Descomponer todos los números en sus números primos.

Paso 2. Tomamos los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.

Paso 3. El producto de todos los anteriores es el MCM.

A continuación le presentamos una tabla que muestra los MCM, para numeros del 1 al 30.

LAS TABLAS DE MULTIPLICAR

Las tablas de multiplicar son el método utilizado para que aprendamos de memoria, las multiplicaciones entre dos números, que por lo general son del 1 al 12, las cuales son básicas para la comprensión del tema.

Las mas elementales son las que colocamos a continuación:

Todas las anteriores, las podemos resumir en la tabla pitagórica a continuación:

Otras tablas de Multiplicar son:

La Multiplicación

La multiplicación es una operación matemática que consiste en sumar un número tantas veces como indica otro número.

Partes de la Multiplicación

El resultado de la multiplicación de varios números se llama producto. Los números que se multiplican se llaman factores o coeficientes, e individualmente: multiplicando (número a sumar o número que se está multiplicando) y multiplicador (veces que se suma el multiplicando).