Unión de Conjuntos

Si tenemos dos conjuntos, A y B, representados de la siguiente manera:

Podemos tener un tercer conjunto, C, que sea producto de la unión de A y B, así:

Nótese lo siguiente:

ü  El conjunto unión, C, contiene todos los elementos de A y B.

ü  A pesar de que ambos contienen al trapecio y al cuadrado, estos dos elementos no se repiten en el conjunto unión.

De lo anteriormente observado, podemos definir la unión de conjuntos. así:

Nomenclatura

La unión de conjuntos se denota por el símbolo ∪:

Se lee: “A unión B es igual a C”.

Cardinalidad de la Unión de Conjuntos

El número de elementos de la unión de dos conjuntos finitos A y B es la suma de los elementos de A y de B, si no tienen elementos en común.

ü  Si  A y B son conjuntos disjuntos:

ü  Como en un conjunto los elementos no pueden repetirse, si A y B tienen elementos en común, al sumar sus elementos se contarían los elementos comunes más de una vez. Por ello, es necesario eliminar las repeticiones al contar los elementos de A ∪ B:

Dados dos conjuntos finitos A y B :

ü  Si alguno de los dos conjuntos no es finito entonces:

Axiomas

De la definición de unión puede deducirse directamente:

ü  La unión de un conjunto A consigo mismo es el propio A :

ü  Tanto A como B son subconjuntos de su unión:

ü  La unión de un conjunto A con un subconjunto suyo B lo deja inalterado:

Propiedad asociativa.

La unión de los conjuntos A y B ∪ C es igual que la unión de los conjuntos A ∪ B y C:

Propiedad conmutativa

La unión de los conjuntos A y B es igual a la unión de los conjuntos B y A:

Propiedad del elemento neutro.

La unión de un conjunto A con el conjunto vacío ∅ es el mismo conjunto A:

Propiedad distributiva

Sea A, el conjunto de los números múltiplos de 3 entre el 1 y el 20, B, los números múltiplos de 4 entre el 1 y el 20, y C, los números múltiplos de 6 entre el 1 y el 20.

Observamos lo siguiente:

Como podemos observar:

También vemos que:

Deducimos de esto que: