Introducción al Algebra

Algebra

Álgebra es la rama de la matemática que estudia la cantidad considerada del modo más general posible. Puede definirse como la generalización y extensión de la aritmética. Es una herramienta muy útil, pues su aplicación se extiende a la mayor parte de las ciencias exactas, como la física, la química, la astronomía, ciertas ramas de la biología, e incluso otras ramas de la matemática.

Carácter del Algebra y su diferencia con la Aritmética

A diferencia de la aritmética elemental, que trata de los números y las operaciones fundamentales, en álgebra para lograr la generalización se introducen, además, letras, para representar variables o cantidades desconocidas (incógnitas); las expresiones así formadas son llamadas fórmulas algebraicas, y expresan una regla o un principio general.

Notación Algebraica

Las partes de la notación algebraica son:

 Los números, se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas.

Las letras, se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas. Las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d, … Las cantidades desconocidas se representan por las últimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z.

Asi:

axⁿ

Puede significar un sin número de expresiones. Por ejemplo, para un valor de a = 3, y un valor de n = 2, tendríamos podríamos reemplazar los valores de la expresión algebraica de la siguiente manera:

3x²

Teniendo estos valores conocidos, y como variable a x, podemos observar los valores que puede tomar en la siguiente tabla:

x	Operacion	Resultado
1	3(1)2	3
2	3(2)2	12
3	3(3)2	27
4	3(4)2	48
5	3(5)2	75

Para el caso de que a = 4, y  n = 3, tendremos:

x	Operacion	Resultado
1	4(1)3	4
2	4(2)3	32
3	4(3)3	108
4	4(4)3	256
5	4(5)3	500

Nótese que hemos utilizado la letra a y n para denotar una cantidad conocida, y la x ha sido utilizada como incógnita, pues le hemos dado algunos valores, para una misma constante a y n.

Formulas

Las formulas algebraicas no son más que la representación de las cantidades por medio de letras de una regla general. Ejemplos de estos, son las formulas dadas de la geometría del área de un rectángulo (A = a x b), o del volumen de un cubo (V = a x a x a, ó, V = a³)

Signos del Algebra

Los signos empleados en álgebra son tres clases: Signos de operación, signos de relación y signos de agrupación.

Signos de Operación (+, -, x)

Son las mismas operaciones que en Aritmética: suma, resta, multiplicación, elevación a potencias y extracción de raíces, que se indican con los principales signos de aritmética excepto el signo de multiplicación. En lugar del signo x, suele emplearse un punto entre los factores y también se indica a la multiplicación colocando los factores entre paréntesis. Así: a⋅b y (a)(b) equivale a a x b.

Signos de Relación (=, >,<)

Se emplean estos signos para indicar la relación que existe entre dos cantidades. Los principales son:

=, que se lee igual a. Así, a = b se lee “a igual a b”.

>, que se lee mayor que. Así, x + y > m se lee “x + y mayor que m”.

<, que se lee menor que. Así, a < b + c se lee “a menor que b + c”.

Signos de Agrupación ( “()”, “[]”’ “{}”, etc.)

Los signos de agrupación son: el paréntesis ordinario ( ), el paréntesis angular o corchete [ ], las llaves { } y la barra o vínculo ||. Estos signos indican que la operación colocada entre ellos debe efectuarse primero. Así,

(a + b)c

índica que el resultado de la suma a y b debe multiplicarse por c;

[a – b] m

índica que la diferencia entre a y b debe multiplicarse por m,

{a + b} ÷ {c – d}

índica que la suma de a y b debe dividirse entre la diferencia de c y d.

El orden de estos signos son de la siguiente forma { [ ( ) ] }, por ejemplo:

{ [ (a + b) - c] · d}

 índica que el resultado de la suma de a + b debe restarse a c y el resultado de esto multiplicarse por d.

Importante: Nótese que en la expresión anterior se inició la resolución del problema con el paréntesis que se encuentra más adentro. Así, podemos decir que los problemas se resuelven de adentro hacia afuera, es decir, siempre se inicia con la operación que se encuentre en el paréntesis mas al centro de toda la expresión.