ALGEBRA: Polinomios

Un polinomio solo es la suma de varios monomios, que si recordamos del punto anterior, es una expresión algebraica.

Para el caso 1 vemos que el polinomio está compuesto de dos monomios y un término independiente, en este caso -2. Es llamado independiente debido a que no depende de la variable x en este ejemplo. El caso 2 es un ejemplo de reducción de términos de un monomio, puesto que yx² = x²y, por lo que podemos hacer la siguiente operación:

En el caso 3 vemos un monomio fraccionario, es decir que tiene una variable en el denominador. Es un solo termino, y a pesar de que el 2 del numerador pueda ser considerado una variable independiente, podemos decir que esta multiplicando al termino (2+x)^-1.

El Grado de un Polinomio
Clases de Polinomios
Polinomio Ordenado

Este, a diferencia de los monomios, puede ser absoluto o relativo, y es tomado del mayor grado de cada término.

El grado absoluto de un polinomio es el mayor numero que se da al sumar los exponentes de cada termino. Para el caso 1, el grado absoluto es 2, puesto que x², es el valor de mayor exponente. En el caso 2, tenemos que:

Por lo que el grado absoluto es 4.

El grado relativo de un polinomio es el mayor grado que se da con respecto a una letra. Este es importante conocerlo, puesto que nos es útil cuando vayamos a ordenar un polinomio. Iendonos directamente al caso dos, podemos observar que el grado relativo con respecto a la letra x es 3, sin embargo, con respecto a la letra y, el grado relativo es 3.

Dependiendo de la cantidad de términos, se pueden clasificar en binomios cuando están compuestos de dos términos (Ej.: 2x -3, x + y), o trinomios, cuando constan de tres términos (Ej.: 2x²-3x -2, x + y - 5). Polinomios con mas de tres términos se conocen simpelemente como polinomios.

Dependiendo de la forma como se presentan sus términos, tenemos las siguientes clasificaciones:

Polinomio Entero, cuando todos sus términos se encuentran en el numerador. Ejemplo:

Nótese para ambos casos, que la variable esta en el numerador.

Polinomio Fraccionario, cuando la variable se encuentra en el numerador. Ejemplo:

Polinomio Racional, cuando no tiene componentes radicales. Ejemplo:

Polinomio Irracional, cuando tiene componentes radicales. Ejemplo:

Polinomio Homogeneo, es cuando todos los términos son del mismo grado absoluto. Ejemplo:

Polinomio Heterogeneo, es cuando todos los términos tienen diferentes grados absolutos. Ejemplo:

Polinomio Completo con relación a una letra, es cuando el polinomio contiene todos los exponentes sucecivos de dicha letra. Ejemplo:

Así pues, podemos decir de,

Que es un polinomio entero, racional, heterogéneo y completo en relación a la variable x.

Los polinomios se ordenan respecto a una letra, la cual llamaremos ordenatriz, la cual es escogida por nosotros. Puede ser ordenado descendentemente:

o ascendentemente:

Otro ejemplo es:

Que lo podemos ordenar:

1.    Ascendentemente con respecto a la letra x:

 2.    Descendentemente con respecto a la letre x:

3.    Ascendentemente con respecto a la letra y:

4.    Descendentemente con respecto a la letra y:

Nótese que los ordenamientos 1 y 4 son iguales, como lo son el 2 y el 3. Esto ocurre cuando polinomios completos con respecto a dos letras, y que a la vez son homogéneos. En el caso de que hubiese habido un término independiente, este tendría que ser colocado al final del polinomio. En otras palabras, si hubiésemos tenido +5 en el polinomio, para el primer ordenamiento seria:

Y así en todos los demás ordenamientos.