ALGEBRA: Polinomios

Un polinomio solo es la suma de varios monomios, que si recordamos del punto anterior, es una expresión algebraica.

Para el caso 1 vemos que el polinomio está compuesto de dos monomios y un término independiente, en este caso -2. Es llamado independiente debido a que no depende de la variable x en este ejemplo. El caso 2 es un ejemplo de reducción de términos de un monomio, puesto que yx² = x²y, por lo que podemos hacer la siguiente operación:

En el caso 3 vemos un monomio fraccionario, es decir que tiene una variable en el denominador. Es un solo termino, y a pesar de que el 2 del numerador pueda ser considerado una variable independiente, podemos decir que esta multiplicando al termino (2+x)^-1.

El Grado de un Polinomio
Clases de Polinomios
Polinomio Ordenado

Este, a diferencia de los monomios, puede ser absoluto o relativo, y es tomado del mayor grado de cada término.

El grado absoluto de un polinomio es el mayor numero que se da al sumar los exponentes de cada termino. Para el caso 1, el grado absoluto es 2, puesto que x², es el valor de mayor exponente. En el caso 2, tenemos que:

Por lo que el grado absoluto es 4.

El grado relativo de un polinomio es el mayor grado que se da con respecto a una letra. Este es importante conocerlo, puesto que nos es útil cuando vayamos a ordenar un polinomio. Iendonos directamente al caso dos, podemos observar que el grado relativo con respecto a la letra x es 3, sin embargo, con respecto a la letra y, el grado relativo es 3.

Dependiendo de la cantidad de términos, se pueden clasificar en binomios cuando están compuestos de dos términos (Ej.: 2x -3, x + y), o trinomios, cuando constan de tres términos (Ej.: 2x²-3x -2, x + y - 5). Polinomios con mas de tres términos se conocen simpelemente como polinomios.

Dependiendo de la forma como se presentan sus términos, tenemos las siguientes clasificaciones:

Polinomio Entero, cuando todos sus términos se encuentran en el numerador. Ejemplo:

Nótese para ambos casos, que la variable esta en el numerador.

Polinomio Fraccionario, cuando la variable se encuentra en el numerador. Ejemplo:

Polinomio Racional, cuando no tiene componentes radicales. Ejemplo:

Polinomio Irracional, cuando tiene componentes radicales. Ejemplo:

Polinomio Homogeneo, es cuando todos los términos son del mismo grado absoluto. Ejemplo:

Polinomio Heterogeneo, es cuando todos los términos tienen diferentes grados absolutos. Ejemplo:

Polinomio Completo con relación a una letra, es cuando el polinomio contiene todos los exponentes sucecivos de dicha letra. Ejemplo:

Así pues, podemos decir de,

Que es un polinomio entero, racional, heterogéneo y completo en relación a la variable x.

Los polinomios se ordenan respecto a una letra, la cual llamaremos ordenatriz, la cual es escogida por nosotros. Puede ser ordenado descendentemente:

o ascendentemente:

Otro ejemplo es:

Que lo podemos ordenar:

1.    Ascendentemente con respecto a la letra x:

 2.    Descendentemente con respecto a la letre x:

3.    Ascendentemente con respecto a la letra y:

4.    Descendentemente con respecto a la letra y:

Nótese que los ordenamientos 1 y 4 son iguales, como lo son el 2 y el 3. Esto ocurre cuando polinomios completos con respecto a dos letras, y que a la vez son homogéneos. En el caso de que hubiese habido un término independiente, este tendría que ser colocado al final del polinomio. En otras palabras, si hubiésemos tenido +5 en el polinomio, para el primer ordenamiento seria:

Y así en todos los demás ordenamientos.

ALGEBRA: Monomios

Monomio: Es una expresión algebraica en la que se utilizan exponentes naturales de variables literales que constan de un solo término o parte literal, un número llamado coeficiente, como vemos a continuación:

Importante:

·         El coeficiente puede ser positivo o negativo, dependiendo de su signo (véase caso  1).

·         En el caso de no llevar signo el coeficiente, se asume que es positivo (véase caso  2), sin embargo, todo monomio con signo negativo debe llevarlo.

·         Los términos o parte literal están compuestos por  las variables y sus exponentes (véase caso  1 y 2).

·         Para el caso 3, como las primeras letras del alfabeto están asignadas a las constantes, por lo que algunos autores no lo consideran como un monomio.

Grado de un Monomio

Al igual que el coeficiente y el término, el grado de un monomio es otro elemento del monomio, que no es más que la suma de los exponentes de su parte literal. Si observamos el caso uno, el exponente de la x es el numero 3. Para el caso 2 debemos sumar el coeficiente de la x y el de la y, o sea,

2 + 1 = 3

por lo que el grado es 3.

 Monomios Semejantes

Se considera semejante a todos los monomios cuya parte literal sea exactamente igual.

En el caso 1 observamos que tenemos diferentes coeficientes pero el término es igual, por lo que son monomios semejantes. También podemos destacar que el tercer monomio tiene en su coeficiente un número fraccionario. En el caso 2 tenemos los mismos coeficientes del caso 1 pero los términos han variado (y³, z³, x²y), por lo que no son semejantes, sin embargo, tenemos el mismo grado, es decir 3.

Suma y resta de monomios

Esto también es conocido como reducción de términos semejantes. Sólo se pueden sumar o restar los monomios semejantes, es decir, que sus términos sean exactamente iguales. Para la realización de estas operaciones, al tener términos semejantes, debemos sumar el coeficiente de los monomios:

Esto también es conocido como reducción de términos semejantes. Sólo se pueden sumar o restar los monomios semejantes, es decir, que sus términos sean exactamente iguales. Para la realización de estas operaciones, al tener términos semejantes, debemos sumar el coeficiente de los monomios:

·    Para términos con diferentes signos, se restan los coeficientes y se coloca el signo del término con mayor valor absoluto (casos 1 y 2).

·   Para términos con el mismo signo, se suman los coeficientes y se coloca el signo de ambos términos (casos 3 y 4).

Producto de monomios

Dos monomios se pueden multiplicar, efectuando el producto de los coeficientes y de las partes literales, respectivamente.

En el caso 1 vemos la multiplicación de dos monomios semejantes, en donde se han multiplicadosus coeficientes (+5,-3), al igual que sus términos, que no es más que la suma de los exponentes, cuando las letras (o bases) sean iguales.

Para el caso 2, tenemos los mismos coeficientes, pero diferentes letras en los términos, por lo que deben escribirse igual en el resultado.

Cociente de dos monomios

El cociente de dos monomios será otro monomio sólo cuando la parte literal del dividendo es múltiplo de la parte literal del divisor.

Es similar a la multiplicación, pero considerando que los exponentes del divisor son negativos. Para el caso 1 tenemos la misma base (x), por lo que simplemente restamos los exponentes. En el caso 2 tenemos dos bases diferentes, por lo que se colocan tal y como se presentan en la expresión. Cuando se tienen dos bases diferentes en el mismo término, tanto en el dividendo como en el divisor (15x²y, 5xy), como se observa en el caso 3, se procede a sumar los exponentes de las bases semejantes.

Nomenclatura Algebraica

La Nomenclatura es la manera en la que escribimos las expresiones algebraicas, este concepto nos ayudará más adelante a la hora de determinar cómo resolveremos un problema algebraico.

Expresión Algebraica

 Es una combinación de letras, números y signos de operaciones. En álgebra elemental, una expresión puede contener números, variables y operaciones aritméticas. Por convención, éstos generalmente se escriben con los términos con exponente más altos a la izquierda; algunos ejemplos son:

ALGEBRA: Conceptos de Valores y Signos.

Cantidades Positivas  y negativas.

El dibujo anterior representa un hoyo en el suelo. Como podemos observar estamos considerando al hoyo con signo negativo y el material extraído de signo positivo. En algebra los términos pueden tomar sentido tanto positivo como negativo, dependiendo del punto de referencia que, para nuestro ejemplo, lo hemos situado en el suelo natural, considerando todo lo que se encuentre arriba como positivo y todo lo que se encuentre por debajo, negativo. Tal es el caso de la escala que se encuentra a continuación:

Como vemos, se considera positivo todos los números que se encuentra a la derecha del cero, y todo a la izquierda, negativo. Si observamos la escala a continuación es exactamente lo contrario, ya que todos los números a la derecha son considerados negativos, mientras los de la izquierda, positivos. La referencia ha cambiado el sentido de los signos, puesto que se encuentra apuntando hacia la izquierda.

Lo único que no ha cambiado es el punto de partida, esto es el cero. Este, por no poseer signo ni valor, es considerado el punto de referencia. El cero es, dicho de otra manera, la ausencia de valor o signo, considerándose todo los números negativos menores a cero, y los positivos, mayores a cero.

Podemos poner un sinnúmero de ejemplos de escalas, por ejemplo la marea, se considera que esta alta el agua está en su punto más alto por encima del nivel medio del mar. Se considera marea baja, cuando alcanza su punto más bajo, tomando como referencia el nivel medio del mar.

Los termómetros son otro ejemplo de escalas, en donde los valores positivos se encuentran por encima de la referencia cero, y negativos todos lo que se encuentran por debajo de este.

Valor Absoluto y Relativo.

Si observamos la primera escala presentada, y miramos por ejemplo, los números -4 y +4, veremos que se encuentra a igual distancia del cero, es decir que, aun estando en extremos opuestos del cero, ambos tienen la misma magnitud con respecto a este. Su valor, 4, no varía su magnitud, sin embargo, su signo, ya sea positivo o negativo, es quien los mantiene a uno u otro extremo de la escala.

El valor absoluto de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). El valor relativo de un número real está dado por el signo de dicho número, que representa de qué lado de la escala se encuentra el número.

Cantidades Aritméticas y Algebraicas.

La cantidad aritmética representa el valor absoluto de un número real, mientras que la cantidad algebraica representa las cantidades de los números, al igual que su sentido, sea positivo o negativo.

Por ejemplo, para la expresión:

La cantidad aritmética será 3, mientras que desde el punto del vista del algebra, la cantidad será -3.